Bola

Podem entendre una esfera com un conjunt de punts distanciats una distància r (radi) d’un punt concret en l’espai i una n-esfera com la generalització de la definició anterior a espais de dimensió arbitrària n. Llavors es pren com a definició de bola l’espai que queda dins la esfera, és a dir, tots els punts la distància dels quals del centre és menor o igual que r. Amb això,  té la bola esmentada, una dimensió més que la esfera. Per entendre’ns, en un espai 3D una esfera és una superfície de dues dimensions i conté una bola 3D. En el cas 3D parlem de volum però ens podem permetre adoptar la mateixa notació en el cas n-dimensional.

Definim un hipercub com una figura tancada que consisteix en segments paral·lels alineats en cada dimensió de l’espai, per exemple un quadrat en 2D. Llavors podem plantejar el següent exercici: inserir una n-bola en un hipercub de la mateixa dimensió i de segments amb longitud 2r (diàmetre). En 1D el quadrat és un sol segment, i la bola també (la esfera equival als vèrtexs de l’hipercub), en 2D la bola cap dins el quadrat però no n’omple l’àrea, veiem com la bola és més petita que el volum (àrea) de l’hipercub(quadrat), en 3D la diferència és encara més gran…És fàcil adonar-se que el volum de les dues figures creix a ritmes diferents, la qual cosa és destacable. La següent pregunta és si el comportament del volum n-dimensional tant de la bola com de l’hipercub és monotónic creixent a mesura que la dimensió augmenta. Certament el de l’hipercub augmenta exponencialment, però el de la bola es regeix per un volum depenent del radi, la dimensió i de pi, més complicat. Amb les degudes simplificacions, la equació del volum d’una n-bola és proporcional al numero pi elevat a la dimensió com a numerador i amb el factorial de la dimensió com a denominador.

El cas és que independentment dels valors de pi i r, el volum de la n-bola tendeix a 0 quan la dimensió tendeix a infinit, mentre al mateix temps el cub sembla que tendeix a infinit. Llavors, si bé el volum de la bola augmenta en les primeres dimensions, acaba tendint a 0. És a dir el volum de la n-bola té un màxim en una certa dimensió, mantenint el radi constant. La peculiaritat del número pi, fa que aquesta dimensió sigui aproximadament 5 quan el radi és 1.

Però no oblidem un fet, el diàmetre de la n-bola és equivalent a l’aresta de l’hipercub, és a dir la n-esfera toca (té un punt coincident) cada una de les cares de l’hipercub. Si el radi de la n-esfera fos infinitesimalment major, llavors la n-bola ja no estaria continguda dins l’hipercub. Tot i això la diferència entre els dos volums tendeix a infinit quan la dimensió tendeix a infinit alhora que el volum de la n-bola tendeix a 0. Raonar quina forma té aquesta n-bola sobrepassa els límits de la imaginació.

Com a mers éssers vius en 3D, sovint pensem que el contingut que hi ha en infinites dimensions és absolut i inabastable, però acabem de veure un exemple que demostra el contrari en el cas de la bola. Amb aquest resultat podem afirmar que a dimensions majors la intuïció ja no és valida, i davant la grandesa de la qüestió, no ens queda cap altra alternativa que enfonsar-nos en dubtes n-existencials.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s